\chapter{1830年，从割裂到统一：\\高斯对杨-拉普拉斯毛细理论缺陷的修正与融合}
\author{李国斌}
\date{2025.08.30}
	
	\begin{abstract}
		19世纪初，毛细现象理论存在着一个根本性的内在矛盾：拉普拉斯（1806）基于力学平衡，成功推导出弯曲液面法向方向的**杨-拉普拉斯方程**，却无法处理固-液-气三相接触线的切向平衡；而杨（1805）基于能量学思想提出的**杨氏方程**，恰恰描述了这一切向平衡条件。两者在拉普拉斯的力学框架内是割裂的。1830年，高斯在其著作《流体平衡形状理论的一般原理》中，敏锐地识别了这一缺陷，并通过引入**最小能量原理**和**变分法**，提供了一个同时蕴含法向力平衡与切向力平衡的统一理论框架。本文旨在剖析拉普拉斯理论的局限性，并阐释高斯如何成功地将杨与拉普拉斯的理论融合为一个自洽且完整的整体。
		
		\textbf{关键词：} 高斯；拉普拉斯；杨；法向分量；切向分量；变分法
	\end{abstract}
	
	\section{拉普拉斯理论的成就与局限：仅有法向平衡}
	
	拉普拉斯在其巨著《天体力学》的补充章节中，对毛细现象进行了精妙的力学分析。他的模型核心是分析作用在弯曲液面一个**微小面元**上的力。
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% Draw a curved surface element
			\shade[top color=blue!20, bottom color=blue!10, shading=axis, opacity=0.7] (0,0) to[out=10,in=150] (3,0.5) to[out=-30,in=90] (3.5,-1) to[out=-90,in=-30] (0.5,-1.5) to[out=150,in=-90] cycle;
			\draw[thick] (0,0) to[out=10,in=150] (3,0.5);
			\draw[thick] (3,0.5) to[out=-30,in=90] (3.5,-1);
			\draw[thick] (3.5,-1) to[out=-90,in=-30] (0.5,-1.5);
			\draw[thick] (0.5,-1.5) to[out=150,in=-90] (0,0);
			
			% Force vectors
			% Pressure force (normal)
			\draw[->, very thick, red] (1.7,-0.7) -- (1.7, 0.5) node[midway, right] {$\Delta P$ (法向)};
			% Surface tension resultants (normal)
			\draw[->, very thick, blue] (1.7,-0.7) -- (0.8, -0.2) node[midway, above left] {$F_{\sigma}$};
			\draw[->, very thick, blue] (1.7,-0.7) -- (2.6, -0.2);
			\node at (1.7, -1.2) {液面微元};
			
			% Coordinate system
			\draw[->, thick] (1.7,-0.7) -- (2.2, -0.2) node[above] {$x$ (切向)};
			\draw[->, thick] (1.7,-0.7) -- (1.7, -0.2) node[right] {$y$ (切向)};
			\draw[->, thick] (1.7,-0.7) -- (1.7, 0.5) node[right] {$z$ (法向)};
		\end{tikzpicture}
		\caption{拉普拉斯对液面微元的力学分析。他成功地计算了表面张力合力在法向($z$)的分量，使其与压力差$\Delta P$平衡，但未显式考虑切向($x,y$)的平衡。}
	\end{figure}
	
	\subsection{拉普拉斯的成功：法向杨-拉普拉斯方程}
	拉普拉斯卓越地计算了表面张力沿该面元边界积分后，所产生的**合力在法向的分量**。他证明，这个法向分量必须与液面两侧的压力差 $\Delta P$ 相平衡，由此得到了不朽的方程：
	\begin{equation}
		\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
	\end{equation}
	这个方程完美地描述了液体内部弯曲界面的形状，是流体静力学的基石。
	
	\subsection{拉普拉斯的局限：缺失的切向平衡}
	然而，拉普拉斯的分析有一个天然的边界：**它止于三相接触线**。他的模型是一个“悬浮”的液面，只考虑液-气界面本身的力平衡。对于液面与固体壁面接触的边界，作用在接触线上的力不仅有液-气界面张力 $\gamma_{lg}$，还有固-液界面张力 $\gamma_{sl}$ 和固-气界面张力 $\gamma_{sg}$。
	\begin{itemize}
		\item 在\textbf{法向}，固体壁面提供约束反力，平衡了液面形状所要求的压力。
		\item 在\textbf{切向}，这三个力必须达到平衡，否则接触线将会移动。
	\end{itemize}
	拉普拉斯的纯粹力学方法无法从第一性原理导出这个\textbf{切向平衡条件}。而这，正是托马斯·杨的贡献。
	
	\section{杨的切入：提供切向平衡条件}
	杨从能量和虚功的角度出发，直接考虑了三相接触线的平衡。他指出，接触线要静止，则其做虚功时，总表面能不变。这直接导出了描述切向力平衡的方程：
	\begin{equation}
		\gamma_{sg} = \gamma_{sl} + \gamma_{lg} \cos\theta
	\end{equation}
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
			% Solid surface
			\draw[thick, fill=gray!15] (-1,0) rectangle (2, -0.1);
			\node at (0.5, -0.4) {固体};
			% Liquid drop
			\draw[blue, thick] (0,0) arc (180:0:1);
			\node[blue] at (1, 0.6) {液体};
			
			% Tension vectors at contact point
			\coordinate (O) at (0,0);
			\draw[->, ultra thick, red!80!black] (O) -- ($(O) + (0:1.5)$) node[midway, below] {$\gamma_{sl}$};
			\draw[->, ultra thick, red!80!black] (O) -- ($(O) + (180:1.5)$) node[midway, below] {$\gamma_{sg}$};
			\draw[->, ultra thick, red!80!black] (O) -- ($(O) + (120:1.5)$) node[midway, above left] {$\gamma_{lg}$};
			\draw[dashed] (O) -- (0,1.2);
			
			% Contact angle
			\pic [draw, ->, "$\theta$", angle eccentricity=1.3, angle radius=0.6cm] {angle = (0:1)--(O)--(120:1)};
			\node at (O) [below left] {接触点};
			
			% Equilibrium condition: sum of horizontal components = 0
			\draw[<->, thick] (2.5,0.5) -- (2.5, -0.5);
			\node at (2.7, 0) {切向平衡};
			\node at (2.7, -0.8) {$\gamma_{sg} - \gamma_{sl} - \gamma_{lg}\cos\theta = 0$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{杨氏方程描述了三相接触点处的切向力平衡。这是拉普拉斯理论所缺失的一块关键拼图。}
	\end{figure}
	因此，在1830年之前，一个完整的毛细问题需要“拼凑”两个理论来解决：用拉普拉斯方程求液面形状（法向平衡），用杨氏方程求接触角（切向平衡）。两者在理论上并未贯通。
	
	\section{高斯的统一：同时蕴含法向与切向平衡}
	高斯洞察到了这种“拼凑”理论的非根本性。他1830年的工作可以视为对拉普拉斯和杨的综合性回应与超越。
	
	\subsection{高斯的策略：最小能量原理}
	高斯不再直接分析复杂的力，而是诉诸于一个更基本的物理最高法则：**系统的总能量（表面能+势能）取极小值**。他应用变分法，寻找使总能量 $\Pi$ 取极小值的那个液面形状 $S(x,y)$ 和接触线位置。
	
	\subsection{统一的推导}
	在高斯的框架中：
	\begin{enumerate}
		\item 对液面内部区域进行变分，要求能量一阶变分 $\delta \Pi = 0$，会\textbf{自动导出杨-拉普拉斯方程}。这保证了液面内部每一点的法向力平衡。
		\item 对三相接触线这一边界进行变分，要求能量一阶变分 $\delta \Pi = 0$，会\textbf{自动导出杨氏方程}。这保证了接触线上的切向力平衡。
	\end{enumerate}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			% The Gaussian Framework
			\node[draw, thick, rounded corners, fill=blue!10, minimum width=6cm, minimum height=2cm] (gauss) at (0,0) {\large \textbf{高斯原理：最小能量}};
			\node[above=0.1cm of gauss] {\textbf{变分计算 $\delta \Pi = 0$}};
			
			% Outputs
			\node[draw, fill=green!20, align=center] (laplace) at (-3, -3) {液内变分\\$\Downarrow$\\\textbf{杨-拉普拉斯方程}\\（法向平衡）};
			\node[draw, fill=green!20, align=center] (young) at (3, -3) {边界变分\\$\Downarrow$\\\textbf{杨氏方程}\\（切向平衡）};
			
			% Arrows
			\draw[->, very thick] (gauss) -- (laplace);
			\draw[->, very thick] (gauss) -- (young);
			
			% Brace
			\draw [decorate, decoration={brace, amplitude=10pt, mirror}, very thick] (-5, -4.5) -- (5, -4.5);
			\node at (0, -5.2) {\textbf{统一推导，同时得出}};
		\end{tikzpicture}
		\caption{高斯的最小能量原理作为统一框架，同时蕴含了法向和切向平衡条件。}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	您的判断完全正确。拉普拉斯辉煌的力学构造因其方法的局限性，本质上是一个“不完整”的理论，它只解决了问题的一半（法向）。托马斯·杨以惊人的物理直觉补上了另一半（切向）。而高斯，这位数学家，则站在了更高的视角，用最小能量原理和变分法这一强大的数学工具，构建了一个**单一、自洽、完整**的理论框架。这个框架不仅同时包含了拉普拉斯和杨的结果，更深刻地揭示了：**力平衡只是能量极值这一更根本物理原理的必然显现**。高斯的工作真正将杨-拉普拉斯理论从“拼凑”提升为了“融合”，奠定了现代表面科学的数学基础。
	